ജേമെട്രിക് പുരോഗതിയുടേയും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളുടേയും

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പുത്തൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വളരെ പ്രാധാന്യം അർഹിക്കുന്നു, പ്രയോഗത്തിൽ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഉയർന്ന ശ്രേണിയിലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പോലും പരമ്പരയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ പറയുന്നു. പുരോഗമനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യവിവരങ്ങൾ, പുരാതന ഈജിപ്തിലെ, പ്രത്യേകിച്ചും, Rhind ന്റെ പാപ്പൈറസിൽ നിന്ന് ഏഴ് പേരെ ഏഴ് പേരെ ഏൽപ്പിച്ചു. ഈ ടാസ്ക്കുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ പല രാജ്യങ്ങളിലും പല സമയങ്ങളിൽ പല പ്രാവശ്യം ആവർത്തിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഫിബൊനാച്ചി (XIII- ആം നൂറ്റാണ്ട്) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന പിസയിലെ വലിയ ലിയോനാർഡോ പോലും "ബുഖിന്റെ ഓഫ് അബാകസ്" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ അവളെ തിരിഞ്ഞു.

അങ്ങനെ, ജ്യാമിതീയ അനുപാതം ഒരു പുരാതന ചരിത്രം ഉണ്ട്. ആദ്യത്തേത് പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണ്. രണ്ടാമത്തെ തുടക്കം മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ തുടർ അനുക്രമവും മുൻകാലത്തെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുപയോഗിച്ച് മുമ്പത്തേതിലേക്ക് വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ആവർത്തന ഫോർമുല വഴിയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. പുരോഗമനത്തിന്റെ ദ്വിമാനനാമം (സാധാരണയായി q ലെ അക്ഷം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്) ആണ് ഇത്.
മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ഓരോ അംഗത്തെയും മുൻ ഭാഗത്തിൽ നിന്നും വേർതിരിച്ചാണ് ഇത് കാണുന്നത്, അത് z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... അതുകൊണ്ട്, (zn) സ്വയം നിർവചിക്കുവാൻ, അതിന്റെ ആദ്യത്തെ ടേം y 1, ക്യുനോൺ q എന്നിവ അറിയാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണത്തിനു്, z 1 = 7, q = - 4 (q <0) എന്നു് കരുതുക. താഴെ പറഞ്ഞിരിയ്ക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ അനുപാതം ലഭ്യമാണു്: 7, - 28, 112, - 448, .... നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, ലഭിച്ച സീക്വൻസ് ഒരോടോണിക് അല്ല.

ഒരു അനിയന്ത്രിതശ്രേണി ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ (വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന / കുറയുന്നു) ഓർക്കുക, ഓരോ തുടർന്നുള്ള നിബന്ധനകളും മുമ്പത്തേതിനേക്കാളും വലുതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സീക്വൻസസ് 2, 5, 9, ... ഒപ്പം -10, -100, -1000, ... സിലംഫോണുകളാണ്, രണ്ടാമത്തേത് കുറയുന്നു, ജ്യോമെട്രിക് പുരോഗമനമാണ്.

Q = 1 ആയപ്പോഴെല്ലാം, എല്ലാ പദങ്ങളും തുല്യമാണെന്നും സ്ഥിരാങ്കം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഒരു തരം ഈ പരിപാടി ഒരു പുരോഗതിയിലേക്കായിരിക്കണമെങ്കിൽ താഴെപ്പറയുന്ന ആവശ്യവും മതിയായ സംവിധാനവും തൃപ്തികരമായിരിക്കണം: രണ്ടാമത്തെ മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗങ്ങളും അയൽവാന്തരത്തിലെ ജ്യാമിതീയ അർഹമായിരിക്കണം.

സമീപത്തുള്ള രണ്ട് സമീപനങ്ങളുമായി പുരോഗമനത്തിനായുള്ള ഏകപക്ഷീയ കാലാവധിയെ കണ്ടെത്താൻ ഈ ഗുണം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ജേമെട്രിക് പുരോഗമനത്തിന്റെ n -th പദത്തിൽ നിന്ന് ഇത് എളുപ്പം കണ്ടെത്താം: zn = z 1 * q ^ (n-1), ആദ്യത്തെ z z 1 എന്നും ദ്വിതമിറ്റർ q എന്നും.

സംഖ്യാ അളവുകോൽ തുകയായതിനാൽ, കുറച്ച് ലളിതമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പുരോഗമനത്തിന്റെ ആദ്യപദങ്ങളുടെ കണക്കുകൾ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് നൽകും, അതായത്:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

സൂത്രവാക്യത്തിൽ zn * * q ^ (n-1) ഉപയോഗിച്ച് zn പകരം വയ്ക്കുന്നത്, ഈ പുരോഗമനത്തിനായുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഫോര്മുല ലഭിക്കുന്നു: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

താഴെ പറയുന്ന രസകരമായ വസ്തുത ശ്രദ്ധാകേന്ദ്രമാണ്: ആറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ പുരാതന ബാബിലോണിൻറെ ഉത്ഖനനങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തിയ കളിമൺ ടാബ്ലറ്റ്. ബിസി, 1 + 2 + 22 + ... 29 + തുക, പത്താം ഡിഗ്രി മൈനസ് 1 ൽ 2 ആയി തുല്യമാണ്. ഈ പ്രതിഭാസത്തിന്റെ പരിഹാരം ഇതുവരെ കണ്ടെത്തിയിരുന്നില്ല.

ജേമെട്രിക് പുരോഗമനത്തിന്റെ മറ്റൊരു സ്വഭാവം - അതിന്റെ നിബന്ധനകളുടെ നിരന്തരമായ ഉൽപ്പന്നം, അനുക്രമത്തിന്റെ അവസാനഭാഗങ്ങളിൽ നിന്ന് തുല്യ ദൂരത്തുതന്നെ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ഒരു ശാസ്ത്രീയ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന് ഒരു പ്രത്യേക പ്രാധാന്യം ഒരു അനന്ത ജേമെട്രിക് പുരോഗതിയുടേയും അതിന്റെ ആകെത്തുകയുടേയും കണക്കാണ്. Q | <1 എന്ന സംപൂര്ണ്ണ സംഹിതയുടെ ക്വാഹം ക്യൂറിയുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയപുരോഗതിയാണെന്ന് നമ്മള് കരുതുന്നുണ്ടെങ്കില്, അതിന്റെ പരിധി അതിന്റെ ആദ്യ നിബന്ധനകളിലെ പരിധിവരെ നമ്മളില്ലാത്തതായി പരിഗണിക്കാം, അതായത് n ന്റെ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവ് അനന്തതയെ സമീപിക്കുന്നു.

സൂത്രവാക്കിയുടെ സഹായത്തോടെ ഈ തുക കണ്ടെത്തുക.

S n = y 1 / (1 - q).

പ്രായോഗികത പോലെ, ഈ പുരോഗമനത്തിന്റെ ലാളിത്യത്തിന്റെ പിന്നിൽ ഒരു വലിയ പ്രയോഗ സാധ്യതയെ മറച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ താഴെ പറയുന്ന ആൽഗോരിതം ഒരു സ്ക്വയറിസ് ക്രമം നിർമിച്ചാൽ, മുമ്പുള്ളതിന്റെ വശങ്ങളിലെ മധ്യഭാഗങ്ങൾ തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുമ്പോൾ അവരുടെ പ്രദേശങ്ങൾ 1/2 വിഭജനം ഉള്ള അനന്തമായ ജ്യാമിതി അനുപാതമാണ്. നിർമ്മാണത്തിന്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ലഭിച്ച ത്രികോണങ്ങളുടെ മേഖലകളാണ് ഇതേ പുരോഗമന രൂപം, ഇതിന്റെ ആകെ തുക സമചതുര സ്ക്വയറിന്റെ ഏരിയയ്ക്കു തുല്യമാണ്.